積分問題と積分公式(1) - taiseinimanの日記

問題： $\displaystyle \lim_{n → \infty} \int_{1}^{n} \sum_{k=1}^{n} e^x\log{x^k}dxを求めよ。$

$\displaystyle e^x\log{x^k} = ke^x\log{x}より、$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} e^x\log{x^k} = e^x\log{x}\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}e^x\log{x}...(1)$

$\displaystyle (1)を代入して、 \int_{1}^{n} \sum_{k=1}^{n} e^x\log{x^k}dx = \frac{n(n+1)}{2}\int_{1}^{n}e^x\log{x} dx$

$\displaystyle \int_{1}^{n}e^x\log{x} dx = \left ( e^x \left( \log{x} - \frac{0!}{x} - \frac{1!}{x^2} -\frac{2!}{x^3} - .... \right ) + C \right )_1^n$

$\displaystyle = e^n \left( \log{n} - \frac{0!}{n} - \frac{1!}{n^2} - \frac{2!}{n^3} - .... \right ) - e \left( 0 - \frac{0!}{1} - \frac{1!}{1^2} - \frac{2!}{1^3} - .... \right )$

$\displaystyle = e^n \left( \log{n} - \frac{0!}{n} - \frac{1!}{n^2} - \frac{2!}{n^3} - .... \right ) + e \left( 0! +1! + 2! + 3! + .... \right )であるから、$

$\displaystyle これを代入して、\lim_{n → \infty} \int_{1}^{n} \sum_{k=1}^{n} e^x\log{x^k}dx = \lim_{n → \infty} \frac{n(n+1)}{2}e^n \left( \log{n} - \frac{0!}{n} - \frac{1!}{n^2} - \frac{2!}{n^3} - .... \right )$

$\displaystyle + \frac{n(n+1)}{2}e \left( 0! +1! + 2! + 3! + .... \right ) = \infty$

$\displaystyle よって答えは正の無限大に発散。$

積分公式(1): $\displaystyle \int \frac{e^x}{x^c}dx = e^x \left( \frac{1}{x^c} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ c(c+1)...(c+k-1)}{x^{c+k}} \right )+ C$

cは0以上の実数。

[証明]

$\displaystyle部分積分を利用して、①....\int e^xx^{-c} dx = e^xx^{-c} - \int -ce^xx^{-c-1} dx$

$\displaystyle さらに部分積分して、① = e^xx^{-c} + ce^xx^{-c-1} - \int -c(c+1)e^xx^{-c-2} dx$

$\displaystyleこの操作をn回繰り返していくと、$

$\displaystyle ① = \frac{e^x}{x^c} + e^x\sum_{k=1}^n \frac{ c(c+1)...(c+k-1)}{x^{c+k}} + \int c(c+1)...(c+n)e^xx^{-c-n-1} dx$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{ c(c+1)...(c+k-1)}{x^{c+k}}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ c(c+1)...(c+k-1)}{x^{c+k}},$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int c(c+1)...(c+n)e^xx^{-c-n-1} dx = \int 0 dx = Cであるから、$

$\displaystyle \int \frac{e^x}{x^c}dx = e^x \left( \frac{1}{x^c} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ c(c+1)...(c+k-1)}{x^{c+k}} \right )+ C$

$\displaystyle 証明終わり$

$\displaystyle また、ここでc = 1とおけば、$

$\displaystyle \int \frac{e^x}{x}dx = e^x \left( \frac{0!}{x} + \frac{1!}{x^2} + \frac{2!}{x^3} + \frac{3!}{x^4} + \frac{4!}{x^{5}} + \frac{5!}{x^{6}} + .... \right ) + C$

$\displaystyle e^x\log{|x|}の不定積分は上記の公式を用いると求められる。$

$\displaystyle \int e^x\log{|x|}を部分積分すると、$

$\displaystyle \int e^x\log{|x|} dx = e^x\log{|x|} - \int \frac{e^x}{x} dxであるから上記の式を代入して,$

$\displaystyle \int e^x\log{|x|} dx = e^x \left( \log{|x|} - \frac{0!}{x} - \frac{1!}{x^2} - \frac{2!}{x^3} - \frac{3!}{x^4} - \frac{4!}{x^{5}} - \frac{5!}{x^{6}} - .... \right ) + C$