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京大理系１：整数a,bはどちらも３で割り切れないが、a^3 + b^3は81で割り切れる。 これを満たす(a,b)のうち、a^2 + b^2を最小とする組とその値を求めよ。

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イントロダクション 素数が無限個あることの証明は、ユークリッドの証明、オイラーの証明などが知られています。 ユークリッドの証明は互いに素を用いた証明で、 オイラーの証明は調和級数が発散するということに基づいています。 最近、サイダックによる証…

ユークリッドの互除法：a>bでaとbを正の整数とする。a mod b ≠ 0 ⇒ gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) [証明]gcd(a,b) = gとおくと、互いに素なk,mを用いて、a = gk , b = gmと置ける。gkをgmで割った時の商をQ、余りをRとするとき、gk = Qgm + Rとおけるから、R = …

オセロプログラム(htmlファイル) index.zip - Google ドライブ オセロゲーム ゲーム開始 ゲーム説明 ・盤上の大きさ N×Nのマス目で表されます。N = 6のとき36個の石がおけます。 Nを画面に従って指定してください。ただしNは4以上の2の倍数で初期値は６です…

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ドラえもんには、ときどき難問が出題されます。 その中でも、「 脱出!恐怖の骨川ハウス」で出題された下記の数学の問題は難しそうです。 動画は下。 数学の復習がてら解いたので、なるべくわかりやすい解説とともに答えを下記に載せておきます。 この問題が…

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問題： 積分公式(1): cは0以上の実数。 [証明]

[整数の合同の定義] a,b,pを正の整数とする。 a-bがpで割り切れる時、 aはpを法としてbに合同であるといい、 a ≡ b (mod p)と表す。※以降は括弧を省略 また、aをpで割ったときの余りをa mod pと表す。 [合同式の性質] a ≡ b (mod p)と下記の命題は同値（必要…

媒介変数(二次元)で表された曲線の長さL 導入 媒介変数表示の定義 yがxの関数であり、 xとyがそれぞれt(tは変数)の関数であるとき、 x = g(t), y = h(t)をまとめてtの媒介変数表示といい、 tを媒介変数という。 例えば、y = 4x^2は、tを用いて 逆に媒介変数…

僕自身の復習を兼ねて、求積について下記の４つの手順を踏まえて説明する。 ・導入（前提となる知識についての簡単な説明） ・定義 ・証明 ・応用 また、それぞれの説明の最期には簡単な例題を載せ、 まとまりのあるところで章末問題を載せました。 教科書に…

\[ 余 弦定理(2): OA^2 - OA^2\cos A = OB^2 - OB^2\cos B = OC^2 - OC^2\cos C\] \[ ただしOは三角形ABCの内心を表す。 \] \[ <証明> \] \[ 三角形ABCをベクトル平面上で考える。 \] \[ △ABCの内心点をOとし、Oを基準とする位置ベクトルA(\overrightarrow{a…