京大ー復習ー整数

京大理系1:整数a,bはどちらも3で割り切れないが、a^3 + b^3は81で割り切れる。

これを満たす(a,b)のうち、a^2 + b^2を最小とする組とその値を求めよ。

 

 \displaystyle 京大理系2:2以上の整数Nに対して、数列a_nを以下のように定める。

 \displaystyle (i): a_1 = 2^N - 3

 \displaystyle (ii): a_nが偶数ならa_(n+1) = a_n/2 、a_nが奇数ならa_(n+1) = (a_n - 1)/2

 \displaystyle このときどのような自然数Mに対しても、

 \displaystyle \sum_{n=1}^M \leqq 2^{n+1} - N - 5となることを示せ。

 

 \displaystyle 京大文系1: 素数p,qに対してp^q + q^pが素数となる組を全て求めよ。

 \displaystyle 

 \displaystyle (京大理系1-復習)

 \displaystyle こういう考えもある。

 \displaystyle a^3 + b^3 = 対称式だ、a+bとabで表すことができる。

 \displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab + b^2) = (a+b)\{(a+b)^2 - 3ab\}

 \displaystyle a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 -2a^2b^2 = \{(a+b)^2 -2ab\}^2 - 2(ab)^2

 \displaystyle a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)

 \displaystyle = (a+b)([{(a+b)^2 -2ab}^2 - 2(ab)^2] -ab\{(a+b)^2 -2ab\} + (ab)^2 )

 \displaystyle 一般に、Q(n) = a^n + b^nとすると、

 \displaystyle  Q(2n+1) = (a+b)\{ (-ab)^n +\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{2n-k}\{ (ab)^nQ^2(n-k) - 2(ab)^k \} \}

 \displaystyle また、Q(2n) = a^{2n} + b^{2n} = (a^n + b^n)^2 - 2(ab)^n

 \displaystyle  = Q^2(n) -2(ab)^nなので、

 \displaystyle Q(n)は必ずa+bとabの式で表すことができる。

 \displaystyle 交代式W(n) =  a^n - b^n = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k)であり、 

 \displaystyle W(2n+1)のbを-bとおいてやれば、     

 \displaystyle Q(2n+1) = (a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}(-b)^k)

 \displaystyle aを-aとおけば、Q(2n+1) = (b-a)(\sum_{k=0}^{n-1}(-a)^{n-k-1}b^k)

 \displaystyle 今挙げた因数分解公式は暗記したほうがいい。

 \displaystyle aは3で割り切れないということを

 \displaystyle a = 3k + r (rは余りで0でない)とおいたほうがいいときと、

 \displaystyle a ≡ r (mod 3)とおいたほうがいいときの2つある。

 \displaystyle すべて同値である。

 \displaystyle まあそんなことは問題見てもわからない時があるので、

 \displaystyle とにかく、試していくしか無い。(総当たり法も一つのやり方)

 \displaystyle aもbも3で割り切れないのだけど、a^3 + b^3は対称式なのだから、  

 \displaystyle 3の余りで場合分けした時以下の3つしか無い。  

 \displaystyle a = 3k + 1, b = 3m + 1  

 \displaystyle a = 3k - 1 , b= 3m - 1  

 \displaystyle a = 3k + 1 , b= 3m - 1 

 \displaystyle a = 3k + 2 とおくより、a = 3m - 1とおいたほうがいいだろう。  

 \displaystyle a^3 + b^3みたいに因数分解できるなら、したほうが殆どの場合よい。  

 \displaystyle まず思い当たるのがa^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)である。  

 \displaystyle a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2abとおいて計算するほうがいいと思えるようになったほうがいい。  

 \displaystyle そうすると、a^3 + b^3 = (a+b){(a+b)^2 - 3ab}  

 \displaystyle 重要なこととして、  

 \displaystyle a = 3f(k) + rは3の倍数でないということ。  

 \displaystyle 当たり前だけど、例えば、a = 3(k^4 +23k^2 + k +432) + r 

 \displaystyle  みたいな式になると、3の倍数かどうかわからなくなる人がいる。 

 \displaystyle a = 3k + 1 , b = 3m + 1のとき、  

 \displaystyle a+b = 3(k+m) + 2なのだから3の倍数でないので3を持たない。  

 \displaystyle (a+b)^2 = 9(k+m)^2 + 12(k+m) + 4  

 \displaystyle ab = 9km + 3k + 3m + 1 

 \displaystyle よって、\{(a+b)^2 - 3ab\} =  3f(k,m) + 1となって3を持たない。  

 \displaystyle つまり3を一つも持たないので81 = 3^4で割り切れない。  

 \displaystyle a = 3k - 1 , b = 3m-1のとき、  

 \displaystyle a+bは3を持たない。  

 \displaystyle (a+b)^2 = 9(k+m)^2 -12(k+m) + 4  

 \displaystyle ab = 9km - 3m -3k + 1 

 \displaystyle よって、a^3 + b^3は3を一つも持たない。  

 \displaystyle a = 3k - 1, b = 3m + 1のとき、  

 \displaystyle a+b = 3(m+k)  

 \displaystyle (a+b)^2 = 9(m+k)^2  

 \displaystyle ab = 9km + 3k - 3m - 1より、  

 \displaystyle \{(a+b)^2 - 3ab\} = 3\{3f(k,m) + 1 \}であるから、  

 \displaystyle a^3 + b^3 = 9(m+k)(3f(k,m) + 1)  

 \displaystyle よって、m+kが9の倍数のときに限ることがわかる。  

 \displaystyle m+k = 9n ⇔ m = 9n - kとおいてやれば、  

 \displaystyle (1)...a = 3k-1かつb = 3(9n-k)+1 = 27n - 3k + 1とき満たす。  

 \displaystyle a^2 + b^2は対称式なのだから、  

 \displaystyle (2)....a = 27n - 3m -1,b = 3m+1 と(1)のときの最小値を求めれば良い。 

 \displaystyle まあ、普通は二次関数を使うでしょう。  

 \displaystyle (1)のとき、a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2abを用いて、  

 \displaystyle = 3^6n^2 -2(3^4kn - 9k^2 + 3k -27n +3k -1)  

 \displaystyle = 3^6n^2 - (2・3^4k + 3^3)n + 18k^2 -12k +2  

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle   

 \displaystyle