ドラえもん史上最大の難問

ドラえもんには、ときどき難問が出題されます。

その中でも、「脱出!恐怖の骨川ハウス」で出題された下記の数学の問題は難しそうです。

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動画は下。

数学の復習がてら解いたので、なるべくわかりやすい解説とともに答えを下記に載せておきます。

この問題が大学入試においてどの程度の難易度になるのかはわからない。

！数式を表示させるのに,時間がかかるので少々お待ちください～

$\displaystyle 問題：F(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin{x} - a\cos{x}| dx を最小にするaを求めよ。ただしaは実数とする.$

$\displaystyle (解答)$

$\displaystyle まず|x|はxの絶対値であるから,x \lt 0 ならば |x| = -x,$

$\displaystyle x \geqq 0 ならば |x| = xとなる性質がある.$

$\displaystyle なぜなら,xの絶対値は常に正を取るから.$

$\displaystyle したがって,以下の関係も成り立つ.$

$\displaystyle |-x| = |-1||x| = |x|...(1)$

$\displaystyle そのうえで,|\sin{x} - a\cos{x}|に(1)を用いると,$

$\displaystyle |\sin{x} - a\cos{x}| = |-(-\sin{x} + a\cos{x})| = |a\cos{x}-\sin{x}|...(2)$

$\displaystyle 次に,(2)を以下のように変形します.$

$\displaystyle \left|a\cos{x}-\sin{x}\right| = \left|\sqrt{a^2+1}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\cos{x}-\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\sin{x}\right)\right| = \sqrt{a^2+1}\left|\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\cos{x}-\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\sin{x}\right|...(3)$

$\displaystyle ここで,\frac{a}{\sqrt{a^2+1}} = \cos{\omega},\frac{1}{\sqrt{a^2+1}} = \sin{\omega}...(4)と置けたとすると,$

$\displaystyle 加法定理:\cos{(A+B)} = \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}を用いることで,$

$\displaystyle (3)は以下のように変形できる.$

$\displaystyle \sqrt{a^2+1}\left|\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\cos{x}-\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\sin{x}\right| = \sqrt{a^2+1}\left|\cos{(\omega+x)}\right|...(5)$

$\displaystyle また(4)の定義から,\sqrt{a^2+1} = \frac{1}{\sin{\omega}}を(5)に用いると,$

$\displaystyle 結局(2)は以下のように変形できる.$

$\displaystyle \frac{1}{\sin{\omega}}|\cos{(\omega+x)}|...(5)$

$\displaystyle 次に\omegaの範囲をみてみる.$

$\displaystyle \omegaは,(4)の式を変形することで,$

$\displaystyle a\sin{\omega} = \cos{\omega}...(6)という関係が成り立っていることがわかる.$

$\displaystyle ここで,(4)の定義から\sin{\omega} ≠ 0であるから,$

$\displaystyle (6)の両辺を\sin{\omega}で割ってもよいから割ると,$

$\displaystyle a = \frac{1}{\tan{\omega}}...(7)という関係が成り立つことがわかる.$

$\displaystyle aは実数であるから,(7)の式から\omegaの範囲を求めることができる.$

$\displaystyle 詳しくはaをfによる\omegaの像だと見なして,aと\omegaが一対一対応となるような$

$\displaystyle \omegaの範囲(集合)とfを求めることになるが,\tan{x}のグラフを考えれば,$

$\displaystyle 0 \lt \omega \lt \pi, \omega ≠ \frac{\pi}{2}の範囲を取るとき,$

$\displaystyle \tan{\omega}は0以外の実数全体を取るから,その逆数\frac{1}{\tan{\omega}}もまた$

$\displaystyle 0を除く実数全体を取る.つまり,$

$\displaystyle aと\omegaの関係を以下のように与えればいいことがわかる.$

$\displaystyle a(\omega) := \begin{cases} \frac{1}{\tan{\omega}} , \ \left(0 \lt \omega \lt \pi, \omega ≠ \frac{\pi}{2}\right) \\ 0 , \ \left(\omega = \frac{\pi}{2}\right) \end{cases}...(8)$

$\displaystyle しかし,このように場合に分けて関係が与えられるのは,$

$\displaystyle \frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}を正接関数\tan{\omega}(=\frac{\sin{\omega}}{\cos{\omega}})の逆数として定義したためである.$

$\displaystyle もし,a = \frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}...(9)と関係付けていれば,$

$\displaystyle \omega = \frac{\pi}{2}のとき,(9)の右辺は\frac{\cos{\frac{\pi}{2}}}{\sin{\frac{\pi}{2}}} = \frac{0}{1} = 0となって,きちんと定義できる.$

$\displaystyle ゆえに(8)は(9)の関係に置き換えることが出来る.$

$\displaystyle a(\omega) := \frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}} \ (0 \lt \omega \lt \pi)...(10)$

$\displaystyle なぜこのようなまどろっこしい説明をしたのかというと,$

$\displaystyle \frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}を正接関数\tan{\omega}の逆数として考えないと,$

$\displaystyle \omegaがどのような範囲を取れば,実数全体を取りうるのか$

$\displaystyle イメージしにくいからである.$

$\displaystyle 次はいよいよ,問題の定積分を考えていくことになるが,$

$\displaystyle (5)の結果を用いると,$

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin{x} - a\cos{x}| dx = \frac{1}{\sin{\omega}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos{(\omega+x)}| dx...(11)$

$\displaystyle (11)の右辺の積分は少し簡単にできる.$

$\displaystyle というのも,|\cos{(\omega+x)}|をx=0からx=\frac{\pi}{2}まで定積分$

$\displaystyle するというのは,結局のところ$

$\displaystyle |\cos{(x)}|をx=\omegaからx=\omega+\frac{\pi}{2}まで定積分$

$\displaystyle することであるからである.$

$\displaystyle この事実は,置換積分を用いても正当化できる.$

$\displaystyle つまり,\omega+x = tとおいて\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos{(\omega+x)}| dxを置換積分すると,$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 1,積分範囲はx=0→x=\frac{\pi}{2}から,$

$\displaystyle t=\omega→t=\omega+\frac{\pi}{2}へと変わるので,$

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos{(\omega+x)}| dx = \int_{\omega}^{\omega+\frac{\pi}{2}} |\cos{(t)}| dtとなる.$

$\displaystyle ゆえにdtをdxに置き換えれば,(11)の右辺は,$

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin{x} - a\cos{x}| dx = \frac{1}{\sin{\omega}}\int_{\omega}^{\omega+\frac{\pi}{2}} |\cos{(x)}| dx...(12)$

$\displaystyle このようにして絶対値の中||を簡単にできた.$

$\displaystyle あとは,(12)の右辺の定積分を絶対値が外せるように場合分け$

$\displaystyle をすればよいが,実はその原始関数が存在しそして実際に求められる$

$\displaystyle ことを示そう.ただし,これは少し難しいし問題を解くことに必ず$

$\displaystyle 必要ではないので,気楽に見てほしい.$

$\displaystyle まず,\int |\cos{(x)}| dxがすべての実数xに対して存在する$

$\displaystyle ことは,|\cos{(x)}|が全てのxに対して連続で,かつ$

$\displaystyle 全てのxに対して,|\cos{(x)}| \leqq Mを満たす実数Mが存在(有界という)$

$\displaystyle することから明らかである.$

$\displaystyle このことを|\cos{(x)}|はリーマン積分可能(原始関数が存在する)であるという.$

$\displaystyle では,|\cos{(x)}|の原始関数は具体的にどのようなものなのであろうか.$

$\displaystyle 結果だけ述べると,|\cos{(x)}|の原始関数は天井関数\lceil x \rceilを用いて,$

$\displaystyle \int|\cos{x}|dx = (-1)^{\lceil \frac{x}{\pi}+\frac{1}{2} \rceil}\cos{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)} + 2\left\lceil \frac{x}{\pi} + \frac{1}{2} \right\rceil + C....(13)$

$\displaystyle と表すことが出来る.$

$\displaystyle ちなみに,天井関数\lceil x \rceilとは,$

$\displaystyle x以上の整数のうち最小のものを取る関数である.$

$\displaystyle 例えば,\lceil 2.34 \rceil = 3,\lceil 4 \rceil = 4,\lceil -1.23 \rceil = -1.$

$\displaystyle (13)の証明は以下を参照.$

mathematics-only.hatenablog.com

$\displaystyle この原始関数を用いると,$

$\displaystyle F(a) = \frac{1}{\sin{\omega}}\int_{\omega}^{\omega+\frac{\pi}{2}}|\cos{x}|dx$

$\displaystyle = \frac{1}{\sin{\omega}}\left\{(-1)^{\lceil \frac{\omega}{\pi}+1 \rceil}\cos{\left(\omega+\pi \right)} + 2\left\lceil \frac{\omega}{\pi} + 1 \right\rceil - \left((-1)^{\lceil \frac{\omega}{\pi}+\frac{1}{2} \rceil}\cos{\left(\omega+\frac{\pi}{2}\right)} + 2\left\lceil \frac{\omega}{\pi} + \frac{1}{2} \right\rceil \right)\right\}$

$\displaystyle = \frac{1}{\sin{\omega}}\left(-\cos{(\omega)} + 4 + (-1)^{\lceil \frac{\omega}{\pi}+\frac{1}{2} \rceil}\sin{(\omega)} - 2\left\lceil \frac{\omega}{\pi} + \frac{1}{2} \right\rceil\right)$

$\displaystyle = -\frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}+\frac{4}{\sin{\omega}}+(-1)^{\lceil \frac{\omega}{\pi}+\frac{1}{2} \rceil}-\frac{2\left\lceil \frac{\omega}{\pi} + \frac{1}{2} \right\rceil}{\sin{\omega}}...(14)$

$\displaystyle 0 \lt \frac{\omega}{\pi} \leqq \frac{1}{2}のとき,$

$\displaystyle F(a) = -\frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}+\frac{4}{\sin{\omega}} - 1 - \frac{2}{\sin{\omega}}$

$\displaystyle = -\frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}+\frac{2}{\sin{\omega}} - 1...(15)$

$\displaystyle \frac{1}{2} \lt \frac{\omega}{\pi} \lt 1のとき,$

$\displaystyle F(a) = -\frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}+\frac{4}{\sin{\omega}}+1-\frac{4}{\sin{\omega}}$

$\displaystyle = -\frac{\cos{\omega}}{\sin{\omega}}+1...(16)$

$\displaystyle 次に,連続関数の最小値は端点か極値のいずれかであるが,$

$\displaystyle aは実数全体なのでF(a)は端点がないので,必ず極値にあることがわかる.$

$\displaystyle つまり,\frac{dF(a)}{da} = 0...(17)を満たすようなaが最小値の候補である.$

$\displaystyle しかし,F(a)をaの式で表せていないので,\frac{dF(a)}{da}を求めることができない.$

$\displaystyle 実際は,(15)も(16)もaの式に置き換えることが出来るが,$

$\displaystyle ここでは,\omegaの式のみで最小値を求めてみる.$

$\displaystyle そこで,合成関数の微分\frac{dF(a)}{d\omega}=\frac{dF(a)}{da}×\frac{da}{d\omega}...(18)を考える.$

$\displaystyle もし\frac{dF(a)}{d\omega}が\omega=αで0になるとき,$

$\displaystyle \frac{da}{d\omega}≠0であれば,(18)から$

$\displaystyle \frac{dF(a)}{da}はa=\frac{\cos{α}}{\sin{α}}を満たす$

$\displaystyle aで0になるはずである.$

$\displaystyle 実際,\frac{da}{d\omega} = -\frac{1}{\sin^2{\omega}}だから,$

$\displaystyle \frac{da}{d\omega}≠0である...(19)$

$\displaystyle よって,\frac{dF(a)}{d\omega}=0となる\omegaを求めればよい.$

$\displaystyle \frac{1}{2} \lt \frac{\omega}{\pi} \lt 1のとき,$

$\displaystyle (16)から\frac{dF(a)}{d\omega} = \frac{1}{\sin^2{\omega}}≠0$

$\displaystyle より,なし.$

$\displaystyle 0 \lt \frac{\omega}{\pi} \leqq \frac{1}{2}のとき,$

$\displaystyle (15)から\frac{dF(a)}{d\omega} = \frac{1}{\sin^2{\omega}} - \frac{2\cos{\omega}}{\sin^2{\omega}} = \frac{1-2\cos{\omega}}{\sin^2{\omega}}=0$