2023-11-27

位置エネルギーは存在しないか？

$\displaystyle ひろゆき氏が言うには、地表から高いほど位置エネルギーは大きいのに$

$\displaystyle 宇宙に行った途端物体は落ちてこなくなる。それはおかしいではないか。$

$\displaystyle だから位置エネルギーは存在しない。$

$\displaystyle 別におかしいことは言っていない。それどころか、鋭い指摘であるように思う。$

$\displaystyle それは物体に位置エネルギーがあるからといって、そのエネルギーが運動に使われるとは限らないから。$

$\displaystyle 例えば、地球の周りを楕円軌道で動く衛星や月の位置エネルギーは、$

$\displaystyle ほとんど変化せずそのために運動の速さはほとんど変化しない。$

$\displaystyle 極端なことを言うと、地表から高さhのテーブルの上に置いた質量mのリンゴは、$

$\displaystyle 地表を基準にしてmghの位置エネルギーを持つが,$

$\displaystyle りんごは永遠に地表に落ちてこはない.$

$\displaystyle つまり、位置エネルギーは、そのエネルギーと同じだけの運動エネルギーをいつも生み出すわけではない。$

$\displaystyle だから、どんなに高い位置にあっても,$

$\displaystyle 運動速度は０でずっとその位置にあるというようなことは全然起こる.$

$\displaystyle もちろん、位置エネルギーがその大きさ分の運動エネルギーを生み出す状況というのは、自由落下があるが、$

$\displaystyle やはり現実には空気抵抗や音や熱による散逸があるから,$

$\displaystyle 位置エネルギーが全て運動エネルギーに変わることはない.$

$\displaystyle 現実に存在しない状況を考えて、その状況でのみ成り立つことをもって$

$\displaystyle 位置エネルギーは存在するというのはあまりにも短絡的だろう.$

$\displaystyle 別に,位置エネルギーは同じ大きさの運動エネルギーを生み出す$

$\displaystyle ものではないということ.$

$\displaystyle 位置エネルギーは重力以外にも、弾性力や圧力があるが,$

$\displaystyle 広義の意味では運動エネルギーも位置エネルギーの一種である.$

$\displaystyle つまり,位置エネルギーの概念自体が元々,$

$\displaystyle それと同じ大きさの運動エネルギーあるいは運動を生み出す$

$\displaystyle ものというようなことではない.$

$\displaystyle 中学や高校の物理でそういう教え方をすること自体が,$

$\displaystyle まず間違ってるということ.$

$\displaystyle しかし,ひろゆき氏に言いたいことは,$

$\displaystyle はじめから正しく教えようとすると,理解することは難しくなる.$

$\displaystyle 多少不正確だったとしても,やはり位置エネルギーを運動エネルギーと結びつけることは,$

$\displaystyle 教育上良いことではないだろうか.$

$\displaystyle しかし,ひろゆき氏のような頭の良い生徒の場合,$

$\displaystyle そういう不確かな教え方はかえって逆効果であることは言うまでもないだろう.$

2023-11-23

√(1-x^2)の級数展開と-π/2の級数表示

$\displaystyle １７世紀の高名な数学者であるジョン・ウォリスを知っているだろうか？$

$\displaystyle 初めて∞という記号を用いたのは彼であるし,また,$

$\displaystyle 曲線の求積など積分法の応用に関して、多大な貢献をしている.$

$\displaystyle ウォリス積は彼の業績で最も有名なものである.$

$\displaystyle すなわち,$

$\displaystyle \frac{\pi}{2} = \left(\frac{2}{1}・ \frac{2}{3}\right)\left(\frac{4}{3}・ \frac{4}{5}\right)\left(\frac{6}{5}・ \frac{6}{7}\right)....$

$\displaystyle 彼はこの式を求めるために、かなり高度なテクニックを用いている.$

$\displaystyle もともと円の面積を求める過程で導かれたものだが,$

$\displaystyle \sqrt{1-x^2}を多項式に展開できなかったために,$

$\displaystyle 別のやり方(内挿の原理)を用いたところ,この式が得られたらしい.$

$\displaystyle 彼は長年,多項式で表さられる曲線の求積法を研究していた.$

$\displaystyle 円の面積\int \sqrt{1-x^2}dxも被積分関数を多項式に展開して$

$\displaystyle 求めようとするのは自然な流れである.$

$\displaystyle では\sqrt{1-x^2}を級数展開できた場合に,$

$\displaystyle \pi/2はどのように表すことができるのかという純粋な疑問に至った。$

$\displaystyle 結果を先にいうと\pi/2は以下の級数で与えられる.$

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-3)!!}{n!(2n+1)2^{n-1}}.$

$\displaystyle ここで,n!!はnの二重階乗で例えば11!!は,$

$\displaystyle 11!! = 11・9・7・5・3・1となる.$

$\displaystyle 証明$

$\displaystyle 実数xが[0,1]の範囲で,$

$\displaystyle \sqrt{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nの恒等式を満たすならば,$

$\displaystyle x = t^2と置いた恒等式$

$\displaystyle \sqrt{1-t^2} = \sum_{n=0}^{\infty}a_nt^{2n}は,$

$\displaystyle tが[-1,1]の範囲で成立する.$

$\displaystyle 恒等式の定義を考えれば明らかである.$

$\displaystyle したがって,\sqrt{1-x^2}の級数展開を求める代わりに,$

$\displaystyle \sqrt{1-x}の級数展開を求めてxをx^2に置き換えればよい.$

$\displaystyle ニュートンの二項定理を用いても良いが,$

$\displaystyle 定義に従って純粋に\sqrt{1-x}を求める.$

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x}とおいて,f(x)のn次導関数を求めると,$

$\displaystyle f^{(n)}(x) = -\frac{(2n-3)!!}{2^n}(1-x)^{-\frac{(2n-1)}{2}}.$

$\displaystyle 上記の結果を用いて,f(x)をマクローリン展開すると,$

$\displaystyle \sqrt{1-x} = -\sum_{n=0}^{m-1}\frac{(2n-3)!!}{n!2^n}x^n + R_m(x).$

$\displaystyle R_m(x)は剰余項で,それが[0,1]の範囲で0に収束することを示す.$

$\displaystyle (2n-3)!! = \frac{(2n)!}{n!2^n}だから,$

$\displaystyle -\frac{(2n-3)!!}{n!2^n} = -\frac{\{(2n-3)!!\}^2}{(2n)!}$

$\displaystyle = -\frac{(2n-3)^2*(2n-5)^2*...*3^2*1^2}{2n*(2n-1)*(2n-2)*(2n-3)*...*2*1}$

$\displaystyle = -\frac{1}{2n(2n-1)}\frac{(2n-3)*(2n-5)*...*3*1}{(2n-2)*(2n-4)*...*4*2}.$

$\displaystyle ∴ \lim_{m\to\infty}\frac{f^{(m)}(x\theta)}{n!}x^m$

$\displaystyle = \lim_{m\to\infty}-\frac{\{x\theta(1-x\theta)\}^m}{2n(2n-1)}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{2k-1}{2k}$

$\displaystyle$

2023-06-09

静水力学

$\displaystyle 静水状態とは,位置と時間の関数である流速ベクトル\vec{u}(x,y,z,t) = 一定$

$\displaystyle となるような状態である.$

$\displaystyle その場合,水の抵抗は生じないからせん断応力τは存在せず,$

$\displaystyle すなわち τ = μ\frac{du}{dy} = 0 が成り立つ.$

$\displaystyle ここで水はニュートン流体の一種だからせん断応力と速度勾配は比例するという関係を用いた.μは粘性度.$

$\displaystyle また上式から,流速uは常に一定なので,y方向で微分しても必ず0$

$\displaystyle となるから,せん断応力τは０となると考えても良い.$

$\displaystyle また, 水は圧力を加えてもほとんど体積が変化せず,$

$\displaystyle 圧縮率Β = -\frac{\frac{dV}{V}}{dp}はほとんど0に近い値を取る.$

$\displaystyle そこで, 水は非圧縮性流体と考えれば,$

$\displaystyle 水の任意の部分を考え,その部分から出ていく水と入ってくる水の量は,$

$\displaystyle 単位時間あたり等しい.この水の量を流量という.$

$\displaystyle さらに流体のある微小断面dsを通過する単位時間あたりの流体の体積dQ（流量）は,$

$\displaystyle dQ = \vec{u}・\vec{ds}.$

$\displaystyle ここで,\vec{ds}は大きさがdsの面積で,向きが微小断面dsに垂直.$

$\displaystyle したがって,ある断面Sを通過する流量Qは,$

$\displaystyle Q = \int\int_S \vec{u}・\vec{ds}.$

$\displaystyle これより Q_+（出ていく流量） = Q_-（入ってくる流量）が成り立つ.$

$\displaystyle 次に微小流体についての運動方程式から,ベルヌーイの定理を導く.$

$\displaystyle 今, 静水状態の水から辺の長さがdx,dy,dzの微小長方体部分を考え,$

$\displaystyle その部分に対しての運動方程式は,加速度が０だから,$

$\displaystyle \vec{0} = (dydzp - dydz(p+\frac{∂p}{∂x}dx), dxdzp - dxdz(p+\frac{∂p}{∂y}dy),dxdyp - dxdy(p+\frac{∂p}{∂z}dz) - ρdxdydzg)$

$\displaystyle = -dxdydz(\frac{∂p}{∂x},\frac{∂p}{∂y},\frac{∂p}{∂z})+ρg).$

$\displaystyle ∴ p(x,y,z,t) = \int dp = \int \frac{∂p}{∂x}dx +\frac{∂p}{∂y}dy +\frac{∂p}{∂z}dz +\frac{∂p}{∂t}dt = \int -ρgdz = -ρg(z_2 - z_1) = -ρgh.$

$\displaystyle すなわち静水状態では,圧力はx,y,t方向には圧力は変化せず,$

$\displaystyle z方向すなわち鉛直方向のみに圧力が変化し,$

$\displaystyle その大きさは水深h×ρgで与えられる.$

$\displaystyle また,水深が深ければ深いほど圧力は増加する.$

$\displaystyle これらが静水力学のほぼ全て有り,ほとんどの問題はこれらを用いて解く.$

$\displaystyle その前に,断面二次モーメントと図心について少し補足をする.$

$\displaystyle 図心とは,平面図形（あるいは厚さ１の空間図形）の密度が一様であるときの$

$\displaystyle 質量中心(重心)である.$

$\displaystyle 具体例１　直角三角形$

$\displaystyle 以下のような底辺a,高さbの直角三角形を考える.$

$\displaystyle 三角形の重心は頂点から対辺に２等分するように引いた中線を$

$\displaystyle 2:1に内分する点であるから,$

$\displaystyle \frac{(a,b)・1 + (a/2,0)・2}{2+1} = \frac{(2a,b)}{3} = (\frac{2a}{3},\frac{b}{3}).$

$\displaystyle すなわち,x方向に\frac{2}{3}aだけ,$

$\displaystyle y方向に\frac{b}{3}だけ進んだところに図心がある.$

$\displaystyle 具体例２　台形$

$\displaystyle 図のような台形の図心を考える.$

$\displaystyle 台形は,底辺a,高さhの直角三角形と,$

$\displaystyle b×hの長方形,$

$\displaystyle 底辺c,高さhの直角三角形に分割できるから,$

$\displaystyle 求める図心G_yは,$

$\displaystyle G_y = \frac{(h/3)・(ah)/2+(h/3)・(ch)/2+(bh^2)/2}{(ah)/2+(ch)/2+bh}$

$\displaystyle = \frac{(ah)/6 + (ch)/6 + (bh)/2}{a/2+c/2+b} = h\frac{a+c+3b}{3a+3c+6b}. 特に, a = cのとき,$

$\displaystyle G_y = h\frac{2a+3b}{6(a+b)}$

$\displaystyle ここで,G_y = \frac{\int_A y dA}{A}より求められる.$

$\displaystyle \int_A y dAを断面一次モーメントという.$

$\displaystyle 次に断面二次モーメントを考える.$

$\displaystyle 例えば,圧力中心は断面二次モーメントを全圧力で割ったものに$

$\displaystyle 等しいなど断面二次モーメントが必要な場合があるからである$

$\displaystyle 具体例1 直角三角形の図心を通るｘ軸に平行な軸周り$

$\displaystyle 図心のy座標は上記でy = b/3と求めた.$

$\displaystyle すなわち, 図心周りの断面二次モーメントI_0は,$

$\displaystyle I_0 = \int{0}^a \int_{0}^{(b/a)x} y^2dxdy - (ab^3/18) =$

$\displaystyle \int{0}^a \frac{(b^3/a^3)x^3}{3} dx - ... =$

$\displaystyle \frac{b^3}{3a^3}\frac{a^4}{4} - \frac{ab^3}{18}$

$\displaystyle = \frac{ab^3}{12} - \frac{ab^3}{18}$

$\displaystyle = \frac{ab^3}{36}.$

$\displaystyle 具体例2 台形の図心を通るｘ軸に平行な軸周り$

$\displaystyle 上記と同じように直角三角形と長方形に分割して求める.$

$\displaystyle ただし,図心のｙ座標がめんどくさい形なのでここでは,$

$\displaystyle x軸周りの断面二次モーメントを出してから求める.$

$\displaystyle 直角三角形のｘ軸周りの断面二次モーメントは,$

$\displaystyle 上記から,\frac{ah^3}{12}と\frac{ch^3}{12}で,$

$\displaystyle h×bの長方形は\frac{bh^3}{3}だから,$

$\displaystyle I_x = \frac{ah^3}{12}+\frac{ch^3}{12}+\frac{bh^3}{3}$

$\displaystyle = \frac{h^3}{12}(B+3b).$

$\displaystyle ただし,a+c+b= Βとおいた.$

$\displaystyle よって,I_0 = \frac{h^3}{12}(B+3b) - \frac{h^3}{18}\frac{(B+2b)^2}{B+b}$

$\displaystyle = \frac{h^3}{36(B+b)}(3(B+3b)(B+b)-2(B+2b)^2)$

$\displaystyle = (3B^2+12Bb+9b^2 - 2B^2-8Bb - 8b^2)...$

$\displaystyle = \frac{h^3}{36(B+b)}(B^2+4Bb+b^2).$

$\displaystyle とてつもなく面倒くさい.$

$\displaystyle$

2023-04-25

■

$\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^1 e^{xy}dxdy = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n・n!}を示せ.$

$\displaystyle$

2023-03-06

MMT理論とケインズ理論の類似性

我々が考えなければならないのは、人というのはものすごく思い込みの生き物だということである。

我々は、お金そのものに固執しお金が増えれば裕福になったと誤解する。

この勘違いをする人が多すぎる。

豊かさというのは、我々の労働に対する対価によって決まる。

対価というのは、受け取るモノ・サービスなどのことである。

例えば、今まで１０分間靴磨きをしたらリンゴ１個受け取れるとしよう。

ここで対価が増えるというのは、このリンゴが２個,３個,...となることである。

しかし,リンゴが増える要因というのはいくつもある。

例えば、労働者の労働効率が上がって１０分間にできる靴磨きの回数が増えたからかもしれないし、この労働者が愛嬌たっぷりでそこを評価されて増えたのかもしれないし、

国全体の所得が向上して同じ労働なのに受け取れる対価が増えたということもありうる。

しかし、国でみたときには、対価が増える要因は労働者の労働効率がほとんどであるように思う。

話を戻して、所得が増えることと豊かさは無関係であるとはどういうことか述べる。

今,為替レートR(ドル/円とする)のときに日本国民の総資産(円)がNであるときを考えよう.

ドル換算は当然NRであるが、ここに国がYだけ円をさらに発行し流通させたとすると、

ドル換算は(N+Y)Rと思うかもしれないが、そのようになることはほぼない。

なぜなら詳細を省くが、国は銀行から借りているお金（国債）の返済にそのお金を充てているからである。

つまり、実質的に国は対価を得るための労働を何も行わずに対価だけを得ている。

※ただし、国債は何に使われるのかというと国民に使われるのであり、対価労働を行っているとみなしうる。ただしそこについては下記で述べる。

そしてそのような存在が、

労働力は有限であるから全く対価を得るための労働などを行っていない人が、

お金を無尽蔵（あるいは大規模）に使う（対価を受け取る）ことで、

対価を得るための労働を行った人が受け取れる対価が減ることによって、

実質的に貧しくなる。

しかし、一方ケインズ理論をもとにしたニューディール政策などが成功していることからわかるように、使われていない労働力を使う場合は別である。

近似的に,ドル換算値は{NR/(N+Y)}(N+Y) = NRーつまり変わらないはずである。

ドル換算値は同じなのに、流通する円通貨の量が増えるということは、１円あたりのドルが小さくなって、人々の持っている預金が目減りあるいは価値が下がるということになる。

すなわち、何をいっているかー国がお金をいくら刷っても、国民の預金・所得が目減りするだけで、国が国民から奪った分だけお金を無尽蔵に使えるだけである。

したがって、お金をいっぱい刷ったから国民が豊かになるわけではない。

2023-02-24

日本の経済をどう回していくべきか。

あくまで定性的な考察であって、定量的に見ると正しくなかったり漠然としているかもしれない。

民主党の政権交代以来自民党は一貫して円安を誘導してきた。

円安によって伸びる輸出額が円安によって伸びる輸入額よりも大きいということなのだろう。実際そのような見解を発表している。

私は国の円安誘導を決して批判しないし、実際そうなのだろうと思う。

しかし、２つの問題点がある。

まず、第一に円安誘導は諸外国から批判される。

第二に、円安で恩恵を受けるのは輸出企業であって原材料の高騰の打撃を受ける

輸入企業や内需企業はむしろ不利益を被る。

したがって、倒産が増えたりアンバランスさを増大させる。

したがって、もし円安を誘導するならそれによって被害を被る内需企業や国民に対して、何かしらの補助金を出さなければならない。

それを含めてなお円安のほうが利益があるとならないなら円安はしないほうがいい。

いずれにせよ、円安誘導というのは対処療法であって、長期的な成長は見込めない。

むしろ、輸出企業の経営を体たらくにしてしまう可能性がある。

自民党は常に、対処療法な金融対策によってのみ経済成長させようとしているように思える。

アメリカや中国のように、なぜイノベーションの促進と労働生産性の向上による方法を模索しまた実行することが少ないのか。

それが唯一の中長期的な経済成長の方法であるのにもかかわらずだ。

もう一つ、トリクルダウン理論は半分間違い半分正しい。

トリクルダウン理論とはほとんど格差拡大政策であって、

どのくらいの格差が最も人々の労働を促すかという点で、

現在の日本の格差が最適解よりも小さいならばという意味で正しい。

経済学についてよく知らないが、知らなくとも日本の特に１億も超える人口を抱える国全体で見たときに、格差の大きさと人々の労働意欲に法則性が存在しないはずがない。

マクロで見れば必ず判断できることである。

我々が乱流の微小流体や熱分子の不規則な運動をそれ一つ一つで法則性を見出す事ができなくとも、その系全体でみたとき法則性が存在しているように、一人ひとりの人間が自由な選択と行動をできうるまたそうしていたとしても、人間の集まり全体で見たときに法則性は必ず存在する。

このようにしてみると、まず日本は経済学部を理系に編入したほうがいいように思う。

2022-08-05

ナビエストークスの方程式の一般解について考察

$\displaystyle ナビエストークスの方程式とは、流体中の流速場と圧力場を未知数とする偏微分方程式であり、主に非圧縮粘性流体の場合を指す.$

$\displaystyle その方程式は、流速場\vec{u}と圧力場\vec{p}を用いて,$

$\displaystyle \frac{∂\vec{u}}{∂t} + (\vec{u}・∇)\vec{u}+\vec{F} +\frac{1}{ρ}∇\vec{p}+ν∇^2\vec{u} = 0と表さられる.$

$\displaystyle 左辺１項と２項が慣性の強度を表し,\vec{F}は流体に与えられた外力,$

$\displaystyle 最後の項は粘性の強度を表す.νは動粘度係数.$

$\displaystyle$