taiseinimanの日記

関数展開の保証と具体例

$\displaystyle どのような関数も誤差を許せば、べき級数\sum_{k=0}^{∞}a_kx^{k}に展開でき、$

$\displaystyle また正弦波と余弦波の和の級数の表示が存在する.$

$\displaystyle これらはそれぞれテイラー展開とフーリエ展開と呼ばれている.$

$\displaystyle ここで,どのような関数もある関数(例えばe^x,\log(x),\tan(x)など)の級数表示が存在する,$

$\displaystyleあるいはそのようなxの定義域があるのではないかという疑問である$

$\displaystyle 例えば, 一次関数f(x) = xは\arctan(x)の級数表示が存在する.$

$\displaystyle 導出$

$\displaystyle まず,f(x)とg(x)の合成関数f(g(x))をf∘g(x)のようにあらわすこととする.$

$\displaystyle f = \tan(x)とおくと, f^{-1} = \arctan(x)である.$

$\displaystyle また,f∘f^{-1} = xである.証明は省略$

$\displaystyle ここで,\tan(x)をマクローリン展開すると,$

$\displaystyle \tan(x) = \sum_{k=0}^{∞}\frac{B_{2k}(-4)^k(1-4^k)}{(2k)!}x^{2k-1}である. ただしB_{n}はベルヌーイ数$

$\displaystyle ここで|x| \leqq \frac{\pi}{2}であることに注意して,$

$\displaystyle x =\arctan(t)とおく.$

$\displaystyle したがって、tの定義域は実数全体.$

$\displaystyle 上記の\tan(\arctan(x)) = xを用いれば,$

$\displaystyle t = \sum_{k=0}^{∞}\frac{B_{2k}(-4)^k(1-4^k)}{(2k)!}(\arctan(t))^{2k-1}.$

$\displaystyle t = xとおいても差し支えないから,$

$\displaystyle 実数全体でx = \sum_{k=0}^{∞}\frac{B_{2k}(-4)^k(1-4^k)}{(2k)!}\arctan^{2k-1}(x)を得る.$

$\displaystyle また同様な方法で,xを\tan(x)の級数で表示できる.$

$\displaystyle 導出$

$\displaystyle \arctan(x)のマクローリン展開を求めると,$

$\displaystyle \arctan(x) = \sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}x^{2k+1} |x| \leqq 1.$

$\displaystyle 同様にxの定義域に注意して, x = \tan(t)とおくと,$

$\displaystyle tの定義域は, |t| \leqq \frac{\pi}{4}だから,$

$\displaystyle |x| \leqq \frac{\pi}{4}の範囲で,$

$\displaystyle x = \sum_{k=0}^{∞}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\tan^{2k+1}(x)を得る.$

$\displaystyle では、当初の疑問に戻ってどのような関数もある関数の級数$

$\displaystyle の表示が存在するのかを考える。$

$\displaystyle 結論から言うと,ほとんどすべての関数はある関数の$

$\displaystyle ２重級数か1重級数の表示が存在する.$

$\displaystyle 2重級数とは,\sum_{k=0}^∞\sum_{n=0}^∞a_{kn}のような表示のこと.$

$\displaystyle その理由を簡単に説明する.$

$\displaystyle まず連続な関数f(x)が正則すなわちf(x)の逆関数f^{-1}(x)が存在し,$

$\displaystyle さらにf^{-1}(x)がマクローリン展開可能だとすると,$

$\displaystyle f^{-1}(x) = \sum_{k=0}^∞\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}...(1)と表示でき,$

$\displaystyle x = f(x)とおくと,(f^{-1}∘f)(x) = xだから,$

$\displaystyle (1)は, x = \sum_{k=0}^∞\frac{f^{(k)}(0)}{k!}f^{k}(x)...(2)と表示できる.$

$\displaystyle これは先ほどのxの\tan(x)と\arctan(x)の級数以外にも、$

$\displaystyle 正則な関数Fであってかつ逆関数がマクローリン展開可能ならば,$

$\displaystyle xはFの級数展開が存在するという一般化になっている.$

$\displaystyle 話を戻して,xが任意の関数f(x)の級数で表示できたということは,$

$\displaystyle ある関数g(x)がマクローリン展開可能であるならば,$

$\displaystyle すなわちg(x) = \sum_{k=0}^∞\frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^{k}...(3)とおけるのだから,$

$\displaystyle (2)のx = \sum_{k=0}^∞\frac{f^{(k)}(0)}{k!}f^{k}(x)を(3)に代入すれば,$

$\displaystyle g(x)のf(x)の二重級数表示すなわち,$

$\displaystyle g(x) = \sum_{n=0}^∞\frac{g^{(n)}(0)}{n!}\left(\sum_{k=0}^∞\frac{f^{(k)}(0)}{k!}f^{k}(x)\right)^{n} = \sum_{n=0}^∞\left(\sum_{k=0}^∞\frac{f^{(k)}(0)(g^{(n)}(0))^{\frac{1}{k}}}{k!(n!)^{\frac{1}{k}}}(f(x))^k\right)^{n}を得る.$

$\displaystyle ここで, k$

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