円問題 - taiseinimanの日記

$\displaystyle 知恵袋にこんな自作問題がありました。$

自作の問題です。以下､nは自然数とする。まず原点を中心とし半径が1である円C1を描く。ここで､円C1とx軸との交点をR1とする。次に､点R1を中心とし半径がC1の1/2倍である円C2を描く。ここで､円C1と円C2の交点を点P1(x1,y1)とする。以下､円C3,C4…と同じように描いていく。 (ただし、点Pn(xn,yn)についてxn,yn>0)

$\displaystyle 面白かったので解いてみると実はこのようなP_nは複数あることがわかり,問題としては成立しないのですが,$

$\displaystyle 2以上のnに対してx_n \gt 0であってy_nが最大値を取るならば,$

$\displaystyle P_nは一意に定まるので,そのもとで導出します。$

$\displaystyle (導出)$

$\displaystyle まず、問題文で使われている記号とその添え字だと簡潔に式を表すことが出来ないので改変する.$

$\displaystyle 今、半径1の中心点(0,0)の円をC_0,半径1/2の中心点(1,0)の円をC_1とする.$

$\displaystyle また, 円C_0の半径をR_0,中心点の座標をP_0,円Ｃ_1の半径をR_1,中心点の座標をP_1とする.$

$\displaystyle 以下,C_{n+1} (nは1以上の整数)は下記の条件によって定められるものとする.$

$\displaystyle 条件: C_{n+1}はC_{n}とC_{n-1}の共有点を中心点として、半径が1/2^{n+1}の円である.$

$\displaystyle また,円C_{n+1}の半径はR_{n+1},中心点の座標はP_{n+1}と表して,$

$\displaystyle また, P_{n+1} = (x_{n+1},y_{n+1})とする.$

$\displaystyle (導出) 条件より,$

$\displaystyle (1): (x_{n+1}-x_n)^2+(y_{n+1}-y_n)^2 = 1/2^{2n}$

$\displaystyle (2): (x_{n+1}-x_{n-1})^2+(y_{n+1}-y_{n-1})^2 = 1/2^{2n-2}$

$\displaystyle だから,これを帰納的に解けばP_nは得られる.$

$\displaystyle しかし,もっと簡単にできないか考えてみる.$

$\displaystyle まず,x_{n+1}-x_{n} = X_{n+1},X_1 = x_1-x_0,$

$\displaystyle y_{n+1}-y_{n} = Y_{n+1},Y_1 = y_1-y_0とおく.$

$\displaystyle そうすると,(1),(2)は以下のように書き換えられる.$

$\displaystyle (1)' : X_{n+1}^2+Y_{n+1}^2 = 1/2^{2n}$

$\displaystyle (2)' : (X_{n+1}+X_n)^2+(Y_{n+1}+Y_n)^2 = 1/2^{2n-2}$

$\displaystyle (2)'を展開して(1)'を用いると,$

$\displaystyle (3) : X_{n+1}X_n + Y_{n+1}Y_n = -1/2^{2n+1}$

$\displaystyle 次は,極座標上で考えてみる. P_{n+1}-P_n = S_{n+1}とおく.$

$\displaystyle ここで,|S_{n+1}| = 1/2^{n}で,$

$\displaystyle \arg(S_1) = \arg{(1,0)} = 0だから,$

$\displaystyle S_{n+1}の原点からの距離は1/2^{n},偏角を\theta_{n+1}とおくと,$

$\displaystyle S_{n+1} = 1/2^{n}(\cos{\theta_{n+1}},\sin{\theta_{n+1}})とおける.$

$\displaystyle ただし上記より, \theta_{1} = 0.$

$\displaystyle これを(3)に代入すると,$

$\displaystyle X_{n+1}X_n + Y_{n+1}Y_n = -1/2^{2n+1}$

$\displaystyle = \cos{\theta_{n+1}}\cos{\theta_{n}}+\sin{\theta_{n+1}}\sin{\theta_{n}} = -1/4$

$\displaystyle 左辺は加法定理を用いれば,\cos{(\theta_{n+1}-\theta_{n})} = -1/4だから,$

$\displaystyle \theta_{n+1}-\theta_{n} = +\arccos{(-1/4)},-\arccos{(-1/4)}.$

$\displaystyle ただし,\arccos関数は主値を取るものとする.$

$\displaystyle 以後, \arccos{(-1/4)} = aとおく.$

$\displaystyle したがって,\theta_{n+1} = \pm a + \theta_{n}.$

$\displaystyle 今,nが奇数の時はa,偶数の時は-aを取るものとすると,$

$\displaystyle \theta_{2k} = a, \theta_{2k+1} = 0となる.kは自然数.$

$\displaystyle ゆえに,2k+1のとき,$

$\displaystyle S_{2k+1} = 1/2^{2k}(1,0)$

$\displaystyle 2kのとき,$

$\displaystyle S_{2k} = 1/2^{2k-1}(-1/4,\sqrt{15}/4)$

$\displaystyle P_{n+1}-P_n = S_{n+1}だから,$

$\displaystyle P_{n} = P_1 + \sum_{k=2}^{n}S_k (n \geqq 2).$

$\displaystyle よって, P_{2n} = (1,0) + (-1/4,\sqrt{15}/4)\sum_{k=1}^{n}1/2^{2k-1} + (1,0)\sum_{k=1}^{n-1}1/2^{2k}$

$\displaystyle = (1,0) + \frac{2^{2n}-1}{3・2^{2n-1}}(-1/4,\sqrt{15}/4) + \frac{2^{2n-2}-1}{3・2^{2n-2}}(1,0) = \left(\frac{7}{6}-\frac{7}{3・2^{2n+1}}, \frac{\sqrt{15}}{6}-\frac{\sqrt{15}}{3・2^{2n+1}}\right)をえる.$