taiseinimanの日記

線形漸化式の研究

$\displaystyle 一般的に漸化式を解くというのは極めて大変なことである.$

$\displaystyle 例えば, a_{n+2}+αa_{n+1}+βa_{n}+γa_{n-1} = 0という形でさえ,$

$\displaystyle 解くことは難しい.$

$\displaystyle よりによって,非線形の漸化式はほぼ解くことが困難である.$

$\displaystyle しかし, 漸化式は微分方程式の離散版なのだから,$

$\displaystyle 微分方程式を用いて解くことができるのではないかという$

$\displaystyle 純粋な疑問に至った.$

$\displaystyle すなわち, 線形常微分方程式は線形漸化式に対応し,$

$\displaystyle 偏微分方程式は,多元漸化式に対応するという具合である.$

$\displaystyle ここでは,係数が定数の線形斉次漸化式に限って,$

$\displaystyle 微分方程式を解く方法を用いて考察してみようとおもう.$

$\displaystyle 定数係数の線形斉次漸化式とは,$

$\displaystyle x_0a_0 + x_1a_1 + x_2a_2 + ,..., + x_na_n = 0の形のことである.$

$\displaystyle ここで,x_nは定数で, {a_n}は求めたい数列.$

$\displaystyle まず,一般論を考察する前に具体的な漸化式について,$

$\displaystyle 微分方程式の解法を適用してみようと思う.$

$\displaystyle a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}-2a_{n-1} = 0,a_0 = a_1 = a_2 = 1.$

$\displaystyle これを解く.$

$\displaystyle まず,数列の部分をy = f(x)とその導関数に置き換えた方程式を考える.$

$\displaystyle すなわち, y''' - 2y''+ y' - 2y = 0...(1)$

$\displaystyle さらに, y(0) = a_0, y'(0) = a_1, y''(0) = a_2を満たすように,$

$\displaystyle y = f(x)の積分定数C_1,C_2,C_3を定めれば,$

$\displaystyle y'''(0) - 2y''(0) + y'(0) - 2y(0) = 0 ⇔$

$\displaystyle y'''(0) - 2a_{2} + a_{1} - 2a_{0} = 0となって,$

$\displaystyle y'''(0) = a_3にしかなりえない.$

$\displaystyle また, (1)の両辺をxで微分してx=0を代入すると,$

$\displaystyle y''''(0) - 2y'''(0) + y''(0) - 2y'(0) = 0 ⇔$

$\displaystyle y''''(0) - 2a_{3} + a_{2} - 2a_{1} = 0となって,$

$\displaystyle y''''(0) = a_4にしかなりえない.$

$\displaystyle すなわち, a_n = y^n(0)を推測できる.$

$\displaystyle 数学的帰納法より証明する.$

$\displaystyle n = k-2,k-1,kのとき正しいと仮定すると, n = k+1のときも$

$\displaystyle 成り立つことを示せばよい. kは3以上の整数.$

$\displaystyle (1)の両辺をx=0の近傍でk-2回微分できるとき,$

$\displaystyle y^{k+1}(0) - 2y^{k}(0) + y^{k-1}(0) - 2y^{k-2}(0) = 0だから,$

$\displaystyle y^{k+1}(0) = 2y^{k}(0) - y^{k-1}(0) + 2y^{k-2}(0) = a_{k+1}.$

$\displaystyle ∴ y^{k+1}(0) = a_{k+1}.証明終わり.$

$\displaystyle だから,(1)の微分方程式を満たすy = f(x)がx=0近傍でn-3回微分可能ならば,$

$\displaystyle a_n = y^{n}(0)であるということをいっている.$

$\displaystyle ここでyが無限回微分可能ならばすべての０以上の整数nに対して,$

$\displaystyle a_n = y^{n}(0)であるという結論が得られる.$

$\displaystyle これらの考察から定数係数の線形斉次漸化式F(a_0,a_1,a_2,...,a_{s-1})$

$\displaystyle = 0 は、以下のように微分方程式から解を得ることが出来る.$

$\displaystyle (定理i)$

$\displaystyle a_0,a_1,a_2,...,a_{s-1}の初期条件があたえられた定数係数$

$\displaystyle の線形斉次漸化式F(a_0,a_1,a_2,...,a_{s-1}) = 0の一般項{a_n}は,$

$\displaystyle y^{0}(0) = a_0,y^{1}(0) = a_1,...,y^{s-1}(0) = a_{s-1}によって定まる$

$\displaystyle 積分定数C_1,C_2,...,C_{s-1}を持つs-1次線形常微分方程式$

$\displaystyle F(y^0,y^1,y^2,...,y^{s-1}) = 0の解y^n(0)に等しい.$

$\displaystyle すなわち, {a_n} = y^n(0).$

$\displaystyle ただし,yは無限回微分可能とする.$

$\displaystyle 話を戻して,さきほどの漸化式を解こう.$

$\displaystyle (1)の微分方程式を解くだけのことであるが,$

$\displaystyle y''' - 2y''+ y' - 2y = 0は定数係数の線形微分方程式なので,$

$\displaystyle 一般に特性方程式を用いて解ける.ただし微分方程式の解法の説明は$

$\displaystyle 省略する.$

$\displaystyle 特性方程式は,λ^3 - 2λ^2+λ - 2= (λ-2)(λ^2+1) = 0より,$

$\displaystyle λ = 2, \pm i. ただし,iは虚数単位$

$\displaystyle よって,y = C_1e^{2x} + C_2\cos{x} + C_3\sin{x}.$

$\displaystyle ここで条件から, y(0) = C_1 + C_2 = 1,$

$\displaystyle y'(0) = 2C_1 + C_3 = 1, y''(0) = 4C_1 - C_2 = 1から,$

$\displaystyle C_1 = 2/5, C_2 = 3/5, C_3 = 1/5.$

$\displaystyle よって, y(x) = \frac{2e^{2x} + 3\cos{x} + \sin{x}}{5}.$

$\displaystyle yは明らかに無限回微分可能だから,$

$\displaystyle y^{2n}(x) = \frac{2^{2n+1}e^{2x} + 3・(-1)^{n}\cos{x} + (-1)^{n}\sin{x}}{5},$

$\displaystyle y^{2n+1}(x) = \frac{2^{2n+2}e^{2x} + 3・(-1)^{n+1}\sin{x} + (-1)^{n}\cos{x}}{5}.$

$\displaystyle ∴ a_nは偶奇に応じて,$

$\displaystyle a_{2n} = \frac{2^{2n+1} + 3・(-1)^{n}}{5}.$

$\displaystyle a_{2n+1} = \frac{2^{2n+2} + (-1)^{n}}{5}を得る.$

$\displaystyle (定数係数の非斉次線形漸化式)$

$\displaystyle 次は,F(a_{n-1},a_{n},a_{n+1},..,a_{n+s}) =f(n)の形を考えてみようと思う.$

$\displaystyle 上記と同様に,具体例から考察をすすめる.$

$\displaystyle a_{n+3}+3a_{n+1}-4a_{n-1} = n!, a_0,a_1,a_2,a_3 = 1を考える.$

$\displaystyle さきほどと同様に, 数列の部分をy=f(x)とその導関数に置き換えると,$

$\displaystyle y^4 + 3y^2 - 4y = n!...(2)$

$\displaystyle 同様に, y(0) = a_0, y'(0) = a_1, y''(0) = a_2, y'''(0) = a_3を満たすように,$

$\displaystyle (2)の微分方程式から得られたyの積分定数C_1,C_2,C_3,C_4を与える.$

$\displaystyle そうして, (2)にx = 0を代入すると,$

$\displaystyle y^4(0) + 3y^2(0) - 4y(0) = n!となって,$

$\displaystyle a_{4}+3a_{2}-4a_{0} = 1!と一致しない.$

$\displaystyle nはxとは独立した定数であるからである.$

$\displaystyle そこで,\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)!}{k!}x^k = 1+2x+3x^2+...$

$\displaystyle をn!の代わりに(2)に置いてみる.$

$\displaystyle すなわち,y^4 + 3y^2 - 4y = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)!}{k!}x^k.(3)$

$\displaystyle (3)にx=0を代入すると,y^4(0) + 3y^2(0) - 4y(0) = 1となるから,$

$\displaystyle a_{4}+3a_{2}-4a_{0} = 1!と一致する.∴a_{4} = y^4(0).$

$\displaystyle さらに,(3)の両辺をxで微分してx=0を代入すると,$

$\displaystyle y^5(0) + 3y^3(0) - 4y^1(0) = 2となって,$

$\displaystyle y^5(0)+3a_{3}-4a_{1} = 2!より, y^5(0) = a_5.$

$\displaystyle ∴このように置けば, y^n(0) = a_nを推測できる.$

$\displaystyle (証明)$

$\displaystyle n = 0,1,2,3のとき,定義から成り立つ.$

$\displaystyle 次に,n=0,1,2,...,k+1,k+2のとき,y^n(0) = a_nと仮定すると,$

$\displaystyle n = k+3のときすなわちy^{k+3}(0) = a_{k+3}も成り立つことを示せばよい.$

$\displaystyle ただし,kは0以上の整数$

$\displaystyle (3)をk-1回微分して, x = 0を代入すると,$

$\displaystyle y^{k+3}(0) + 3y^{k+1}(0) - 4y^{k-1}(0) = k!⇔$

$\displaystyle y^{k+3}(0) = k! - 3a_{k+1}(0) + 4a_{k-1}(0) = a_{k+3}より,$

$\displaystyle y^{k+3}(0) = a_{k+3}.$

$\displaystyle 証明終わり$

$\displaystyle これは,一般的に成立し以下の定理を得る.$

$\displaystyle (定理ⅱ)$

$\displaystyle 定数係数の非斉次線形漸化式 F(a_{n-1},a_{n},a_{n+1},..,a_{n+s}) = f(n)$

$\displaystyle に対して y = h(x)とその導関数に置き換えた微分方程式$

$\displaystyle F(y,y^1,y^2,...,y^{s+1}) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f(n+1)}{n!}x^n$

$\displaystyle の解y=h(x)が無限回微分可能ならば, y^{n}(0) = a_n. nは0以上の整数$

$\displaystyle ただし,a_0,a_1,a_2,...,a_sは上記の微分方程式の積分定数によって定まるものとする.$

$\displaystyle 一般に, f(n+1) = b_nとおけば,$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}x^nはb_nの指数型母関数と呼ぶらしい.$

$\displaystyle 一般的に, 級数の入った微分方程式は解くことができないから,$

$\displaystyle 問題を解くときには, この級数をxの関数として表すつまり$

$\displaystyle 収束値を求める必要がある.仮に収束値がg(x)だとすると,$

$\displaystyle すなわち\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}x^n = g(x).$

$\displaystyle ここで,0以上のnに対してg^n(0) = b_nならば,$

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{n!}x^nはg(x)のx=0周りのテイラ-級数$

$\displaystyle に他ならない.$

$\displaystyle だから,テイラー展開の逆の操作を行えば収束値が得られる.$

$\displaystyle 話を戻して, さきほどの問題を進める.$

$\displaystyle (3)の微分方程式を解けばよいのだが,そのまえに右辺の級数の収束値$

$\displaystyle を求める必要がある.$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)!}{k!}x^k = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k$

$\displaystyle となって,これは等差×等比型の級数であるので求められる.$

$\displaystyle まず部分和を求めると, \sum_{k=0}^{n}(k+1)x^k$

$\displaystyle = \frac{(n+1)x^{n+2} - (n+2)x^{n+1} + 1}{(x-1)^2}$

$\displaystyle ここで,xを-1 \lt x \lt 1の範囲に限定して,$

$\displaystyle 等差数列に対して等比数列の増加スピードが早いことに注意すると,$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)x^{n+2} - (n+2)x^{n+1} + 1}{(x-1)^2}$

$\displaystyle = \frac{(n+1)x^{n+2} - (n+2)x^{n+1} + 1}{(x-1)^2}=\frac{1}{(x-1)^2}.$

$\displaystyle ∴ (3)の微分方程式は,y^4 + 3y^2 - 4y = \frac{1}{(x-1)^2}, -1 \lt x \lt 1.$

$\displaystyle と表現できるわけである.$

$\displaystyle この微分方程式は非同次線形常微分方程式だから,$

$\displaystyle 一般解yは同次解と特殊解の和で与えられる.$

$\displaystyle ここでも,微分方程式の解法については省略する.$

$\displaystyle まず同次解を求める.先ほどと同様に,特性方程式を用いると,$

$\displaystyle λ^4+3λ^2-4= 0⇔(λ^2-1)(λ^2+4) = 0より,$

$\displaystyle λ = -1,1,-2i,2iであるから,同次解は,$

$\displaystyle C_1e^{-x}+C_2e^{x}+C_3\cos{2x}+C_4\sin{2x}.$

$\displaystyle 特殊解を求める.ラプラス変換を用いると(説明は省略),$

$\displaystyle 特殊解は\frac{2\rm{Ci(2-2x)}\cos{(2-2x)} + 2\rm{Si(2-2x)}\sin{(2-2x)} - e^{x-1}\rm{Ei(1-x)} - e^{1-x}\rm{Ei(x-1)}}{10}.$

$\displaystyle ただし,Ciは余弦積分,Siは正弦積分,Eiは指数積分. よって,$

$\displaystyle y(x) =C_1e^{-x}+C_2e^{x}+C_3\cos{2x}+C_4\sin{2x}$

$\displaystyle +\frac{2\rm{Ci(2-2x)}\cos{(2-2x)} + 2\rm{Si(2-2x)}\sin{(2-2x)} - e^{x-1}\rm{Ei(1-x)} - e^{1-x}\rm{Ei(x-1)}}{10}.$

$\displaystyle あとは積分定数C_1,C_2,C_3,C_4を求めて,yをn回微分すれば,$

$\displaystyle 漸化式が解けたことになる.$

$\displaystyle しかし、設定した漸化式がよくなかったので,$

$\displaystyle n階の導関数がめちゃくちゃ複雑になって計算することが難しい.$

$\displaystyle ただyの形(無限回微分可能な関数の和)から無限回微分可能である$

$\displaystyle ことは確かそうである.$

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$\displaystyle -1 \lt x \lt 1にたいして,y(x)=$

$\displaystyle e^{-x}+e^{x}+\cos{2x}+\sin{2x}+\frac{2\rm{Ci(2-2x)}\cos{(2-2x)} + 2\rm{Si(2-2x)}\sin{(2-2x)} - e^{x-1}\rm{Ei(1-x)} - e^{1-x}\rm{Ei(x-1)}}{10}$

$\displaystyle を定義する.ここで,y(0)=a_0,y'(0)=a_1,y''(0)=a_2,y'''(0)=a_3ならば,$

$\displaystyle 漸化式: a_{n+3}+3a_{n+1}-4a_{n-1} = n!の一般項{a_n}は$

$\displaystyle a_n = y^{(n)}(0) で与えられる.$

$\displaystyle これを示せ.$

$\displaystyle ただし, nは1以上の整数で,\rm{Ci}は余弦積分,\rm{Si}は正弦積分,\rm{Ei}は指数積分を表す.$

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