taiseinimanの日記

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$\displaystyle まず、nx = t (0\lt t \lt n^2π)と置く.$

$\displaystyle tで置換積分すると,$

$\displaystyle x = t/nかつdx/dt = 1/nより,$

$\displaystyle \int \frac{e^{-t/n}|\sin(t)|}{n}dt.$

$\displaystyle 今, \sin(t)\gt0となる場合と\sin(t)\lt0となる場合で分けて積分すると,$

$\displaystyle 前者は, 置換積分を２回用いることで,$

$\displaystyle \int \frac{e^{-t/n}\sin(t)}{n}dt = (-e^{-t/n}\sin(t)) + \int e^{-t/n}\cos(t)dt = (\frac{-ne^{-t/n}\sin(t)}{n}) + (-ne^{-t/n}\cos(t)) - \int ne^{-t/n}\sin(t)dtとなるが,$

$\displaystyle t=が整数×πのとき\sin(t)= 0だから,(\frac{-ne^{-t/n}\sin(t)}{n})は無視できて,$

$\displaystyle \int \frac{e^{-t/n}\sin(t)}{n}dt = -\frac{(ne^{-t/n}\cos(t))}{n^2+1}となる.$

$\displaystyle 同様に\sin(t)\lt0の場合,|\sin(t)| = -\sin(t)だから,$

$\displaystyle \int -\frac{e^{-t/n}\sin(t)}{n}dt = -\frac{(ne^{-t/n}\cos(t))}{n^2+1}$

$\displaystyle 次に, 前者の場合も後者の場合も対称性があることに注目すると,$

$\displaystyle 結局\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+1}\frac{1}{e^{nπ}} + \frac{2n}{n^2+1}(e^{-π/n}+e^{-2π/n}+e^{-3π/n}+...+ e^{-(n^2π-1)/n})$

$\displaystyle = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+1}\frac{1}{e^{nπ}} + \frac{2n}{n^2+1}\frac{e^{-π/n}(e^{-K}-1)}{e^{-π/n}-1}となる.ここでn→∞のとき,K→∞となる.$

$\displaystyle n→∞のとき,\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+1}\frac{1}{e^{nπ}}は明らかに0に収束し, e^{-π/n}(e^{-K}-1)→-1に収束し,$

$\displaystyle \frac{2n}{n^2+1}\frac{1}{e^{-π/n}-1} = \frac{2}{n+1/n}\frac{1}{e^{-π/n}-1}から,これは-2/πに収束することがわかる..$

$\displaystyle ゆえに求める極限値は、2/π.$

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