ラジアンあたりの弧長 - taiseinimanの日記

$\displaystyle 極座標で表された曲線C上の点p(R(\theta),\theta)におけるラジアンあたりの弧長Uを下記のように定義する.$

$\displaystyle \lim_{h\to +0} \frac{\int_{\theta}^{\theta+h} \sqrt{(f'(\theta))^2 + (g'(\theta))^2}\ d\theta }{h} = cかつ$

$\displaystyle \lim_{h\to -0} \frac{\int_{\theta+h}^{\theta} \sqrt{(f'(\theta))^2 + (g'(\theta))^2}\ d\theta }{h} = cのとき, U^{-1} = c...(1)$

$\displaystyle ただし, f(\theta) = R(\theta)\cos{\theta}, g(\theta) = R(\theta)\sin{\theta}とおいた.$

$\displaystyle (1)の左辺の分子は弧長であり,分母は変化したラジアン量である.$

$\displaystyle よって,(1)の意味は点近傍における単位ラジアンあたりの弧長となる.$

$\displaystyle (1)より, U^{-1} = \sqrt{(f'(\theta))^2 + (g'(\theta))^2}である...(2)$

$\displaystyle またU^{-1}をラジアンあたりの弧長の半径と呼ぶことにする.$

$\displaystyle なぜなら, U^{-1} = rのとき,Uは半径rの円のそれと同じだからである.$

$\displaystyle (2)の右辺を整理すると,$

$\displaystyle U^{-1} = \sqrt{(R'(\theta))^2 + (R(\theta))^2}....(3)$

$\displaystyle \left(二次関数y = x^2のU = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{4x^2+1}}\right)$

$\displaystyle 証明$

$\displaystyle x,yを媒介変数で,$

$\displaystyle x = R(\theta)\cos{\theta}$

$\displaystyle y = R(\theta)\sin{\theta}と置けたとすると,$

$\displaystyle R(\theta)\sin{\theta} = (R(\theta)\cos{\theta})^2だから,$

$\displaystyle R(\theta) ≠ 0 かつ \cos{\theta} ≠ 0だとすると,$

$\displaystyle R(\theta) = \frac{\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}$

$\displaystyle R(\theta)を微分すると,$

$\displaystyle R'(\theta) = \frac{\cos^2{\theta} + 2\sin^2{\theta}}{\cos^3{\theta}}$

$\displaystyle (3)にこれらを代入すると,$

$\displaystyle (R(\theta))^2 + (R'(\theta))^2 =$

$\displaystyle \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^4{\theta}} + \frac{\cos^4{\theta} + 4\cos^2{\theta}\sin^2{\theta} + 4\sin^4{\theta}}{\cos^6{\theta}}$

$\displaystyle = \frac{(\cos^2{\theta}+4\sin^2{\theta})(\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta})}{\cos^6{\theta}}.$

$\displaystyle \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} = 1と$

$\displaystyle \tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}を利用して,$

$\displaystyle = \frac{1}{\cos^4{\theta}} + \frac{4x^2}{\cos^4{\theta}}$

$\displaystyle = (x^2+1)^2・(4x^2+1)$

$\displaystyle ∴U^{-1} = (x^2+1)\sqrt{4x^2+1}...(4)$

$\displaystyle ※x^2 \geqq 0$

$\displaystyle ここでx = \tan{\theta}で,\tan{\theta}の値域は実数全体だから,$

$\displaystyle xの定義域も実数全体である.$

ゆえに全てのxについて成立

$\displaystyle 証明終わり.$

$\displaystyle \left(楕円のU = \frac{1}{\sqrt{a^2\sin^2{\theta}+b^2\cos^2{\theta}}}\right)$

$\displaystyle 楕円の弧長を求める積分の被関数の逆数であるだけなので,$

$\displaystyle 証明省略.$

$\displaystyle \left( 関数f(x)のU = \frac{xf'(x) - f(x)}{\left({f(x)}^2 + x^2\right)\sqrt{{f'(x)}^2 + 1}}\right)$

$\displaystyle 証明$

$\displaystyle x = f(t)$

$\displaystyle y = g(t) ...(1)$

$\displaystyle の媒介変数表示で与えられた曲線Cが,$

$\displaystyle 極方程式R(\theta)で表すことができるとする.$

$\displaystyle すなわち, x = R(\theta)\cos{\theta}, y = R(\theta)\sin{\theta} ...(2)$

$\displaystyle と表すことができたとき,$

$\displaystyle 曲線CのUは上記の定義から,$

$\displaystyle U^{-1} = \sqrt{{R(\theta)}^2 + {R'(\theta)}^2}$

$\displaystyle 曲線Cの弧長を求める不定積分をL(x)と置くとき,$

$\displaystyle 定義からL(x) = \int U^{-1} \ d\theta = \int \sqrt{{R(\theta)}^2 + {R'(\theta)}^2} \ d\theta ...(3)$

$\displaystyle (1)と(2)から,\frac{g(t)}{f(t)} = \tan{\theta}であることに注意して,$

$\displaystyle \frac{g(t)}{f(t)} = \tan{\theta}と置いて,$

$\displaystyle (3)を置換積分すると,$

$\displaystyle \int \sqrt{{R(\theta)}^2 + {R'(\theta)}^2} \ d\theta = \int \left[\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right]^{'}\sqrt{\left\{R\left(\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right)\right\}^2 + \left\{R'\left(\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right)\right\}^2} \ dt ...(4)$

$\displaystyle またL(x)は媒介変数表示で,$

$\displaystyle L(x) = \int \sqrt{{g'(t)}^2 + {f'(t)}^2} \ dt$

$\displaystyle と表示できる. ...(5)$

$\displaystyle (4)と(5)より,$

$\displaystyle\int \left[\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right]^{'}\sqrt{\left\{R\left(\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right)\right\}^2 + \left\{R'\left(\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right)\right\}^2} \ dt = \int \sqrt{{g'(t)}^2 + {f'(t)}^2} \ dt$

$\displaystyle が成り立ち, 両辺をtで微分すると,$

$\displaystyle \left[\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right]^{'}\sqrt{\left\{R\left(\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right)\right\}^2 + \left\{R'\left(\arctan{\frac{g(t)}{f(t)}}\right)\right\}^2} = \sqrt{{g'(t)}^2 + {f'(t)}^2}$